Detail předmětu

Vybrané partie z matematiky II.

XPC-VPM FEKT XPC-VPM Ak. rok 2025/2026 letní semestr 5 kreditů

Aktuální akademický rok

Obsahem předmětu jsou základy výpočtu řešení  dynamických  systémů užitím Diracovy delta funkce a váhové funkce, řešení normovaných  systémů, podmínky existence a jednoznačnosti řešení systémů diferenciálních rovnic v maticovém tvaru , fundamentální matice řešení, výpočet obecného a partikulárního řešení eliminační metodou , metodou vlastních čísel  a metodou variace konstant. Dále je pozornost zaměřena na teorii diskrétních systémů reprezentovaných diferenčními rovnicemi a metody řešení lineárních  i nelineárních diferenčních rovnic, řešení homogenních diferenčních rovnic s proměnnými koeficienty pomocí sumace a gamma funkce včetně  řešení  nehomogeních systémů  eliminační metodou. Pomocí numerické diferenciální transformační metody jsou řešeny  dynamické systémy s pamětí včetně  singulárních úloh v závislosti na konstantním  i proporciálním zpoždění.  Dále se jedná  o základy  frakcionálního  (zlomkového) počtu a   řešení  frakcionálních spojitých systémů pomocí  frakcionálních  integrálních  transformací a semi-analytických  metod včetně výpočtu  zlomkových impulzních  charakteristik.

Garant předmětu

Šmarda Zdeněk, doc. RNDr., CSc. (UMAT)

Koordinátor předmětu

Kovár Martin, doc. RNDr., Ph.D. (UMAT)

Jazyk výuky

česky

Zakončení

zkouška (písemná)

Rozsah

  • 26 hod. přednášky
  • 26 hod. cvičení

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Cíle předmětu

Cílem předmětu je seznámit studenty s metodami  řešení  spojitých  i  diskrétních  dynamických  systémů  včetně  systémů  frakcionálního  řádu.

Studenti by po absolvování kursu měli být schopni :
 - aplikovat váhovou funkci a delta funkci na řešení lineárních diferenciálních rovnic.
 - zvolit optimální metodu řešení systémů diferenciálních rovnic
 - vypočítat řešení lineárních i nelineárních diferenčních rovnic a systémů diferenčních rovnic užitím  charakteristické  rovnice  (sumace,  gamma funkce)
 - řešit funkcionální dynamické  systémy užitím diferenciální transformační metody                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          -  řešit  frakcionální  systémy pomocí frakcionálních integrálních  transformací 

Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti

Student by měl být schopen aplikovat znalosti z analytické geometrie a matematické analýzy na úrovni středoškolského studia: umět vysvětlit pojmy obecné a parametrické rovnice křivek a ploch a elementárních funkcí.
Z předmětů BMA1, BMA2 jsou požadovány základní znalosti diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a více proměnných, integrálního počtu funkce jedné proměnné a základní metody řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Především by student měl umět derivovat (včetně parciálních derivací) a integrovat.

Literatura studijní

  • KRUPKOVÁ, V.: Diferenciální a integrální počet funkce více proměnných,skripta VUT Brno, VUTIUM 1999, 123s.
  • BRABEC, J., HRUZA, B.: Matematická analýza II,SNTL/ALFA, Praha 1986, 579s.
  • PODLUBNY, I., Fractional Differential Equations: an Introduction to Fractional derivatives, Fractional Differential equations, Vol. 198 (1998). Academic press.
  • DAS, S., Functional Fractional Calculus (Springer, Berlin, 2011).

Literatura referenční

  • HLAVIČKOVÁ, I. KOLÁŘOVÁ, E., ŠMARDA,Z., Vybrané partie z matematiky II. -učební text

Osnova přednášek

  1. Impulzní funkce,  řešení  diferenciálních  rovnic užitím  váhové  funkce
  2. Systémy diferenciálních  rovnic, eliminační  metoda
  3. Metoda variace konstant,  metoda vlastních  čísell  a vlastních  vektorů
  4. Metoda neurčitých  koeficientů
  5.  Diferenciální  transformační metoda (DTM) 
  6.  DTM  pro  systémy  diferenciálních rovnic , zpožděné  systémy.
  7. Diferenční  rovnice,  diference,  sumace.
  8. Řešení  lineárních homogenních  i  nehomogenních  diferenčních  rovnic
  9. Gama funkce, řešení speciálních  nelineárních  diferenčních rovnic 
  10. Řešení systémů lineárních  diferenčních rovnic
  11.  Frakcionální počet,  Mittag-Lefflerovy  funkce
  12. Řešení  frakcionálních diferenciálních  rovnic  ve smyslu  Caputovy  a Riemann-Liouvilleovy  derivace
  13. Řešení  frakcionálních  systémů  diferencionálních  rovnic,  impulzní  charakteristiky

  

Osnova numerických cvičení

  1. Impulzní funkce,  řešení  diferenciálních  rovnic užitím  váhové  funkce
  2. Systémy diferenciálních  rovnic, eliminační  metoda
  3. Metoda variace konstant,  metoda vlastních  čísell  a vlastních  vektorů
  4. Metoda neurčitých  koeficientů
  5.  Diferenciální  transformační metoda (DTM) 
  6.  DTM  pro  systémy  diferenciálních rovnic , zpožděné  systémy.
  7. Diferenční  rovnice,  diference,  sumace.
  8. Řešení  lineárních homogenních  i  nehomogenních  diferenčních  rovnic
  9. Gama funkce, řešení speciálních  nelineárních  diferenčních rovnic 
  10. Řešení systémů lineárních  diferenčních rovnic
  11.  Frakcionální počet,  Mittag-Lefflerovy  funkce
  12. Řešení  frakcionálních diferenciálních  rovnic  ve smyslu  Caputovy  a Riemann-Liouvilleovy  derivace
  13. Řešení  frakcionálních  systémů  diferencionálních  rovnic,  impulzní  charakteristiky

  

Průběžná kontrola studia

Práce během semestru je hodnocena maximálně 30 body (tyto body je možné získat za písemky a domácí úkoly).
Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 70 body a skládá se ze 7 příkladů .



Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BIT, 2. ročník, volitelný
  • Program BIT (anglicky), 2. ročník, volitelný
Nahoru