Detail předmětu
Vysoce náročné výpočty
VND Ak. rok 2024/2025 letní semestr
Předmět je zaměřen na praktické metody řešení náročných vědecko-technických výpočtů. Provádí se rozbor numerického řešení soustav diferenciálních rovnic a hodnotí se paralelní spolupráce mikroprocesorů na principu diferenciálního počtu. Důraz je kladen na pochopení problematiky metod proměnného řádu a kroku (hp-metody). Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic se používá originální metoda založená na přímém využití Taylorovy řady. K dispozici je simulační jazyk TKSL (FOS) s rovnicovým zápisem zadaného problému.
Uvádí se těsná souvislost rovnicového a blokového zápisu a analyzuje se blokové schéma jako datový vstup. Uvádí se numerické výpočty se zaměřením na následující technické problémy: řešení rozsáhlých soustav diferenciálních rovnic, řešení rozsáhlých soustav algebraických rovnic, řešení parciálních diferenciálních rovnic, stiff systémy, úlohy z regulace, elektrická simulace VLSI obvodů, modelování mechanických soustav, elektrostatické a elektromagnetické pole. Součástí předmětu je analýza paralelních algoritmů a návrh specializovaných architektur pro numerické řešení diferenciálních rovnic. Většina technických úloh vede na maticový zápis. Jednotlivé technické problémy budou rovněž řešeny v prostředí MATLAB/Simulink.
Okruhy otázek k SDZ
- Analytické řešení diferenciálních rovnic.
- Numerické řešení diferenciálních rovnic.
- Extrémně přesné řešení diferenciálních rovnic metodou Taylorovy řady, knihovní podprogramy přesných výpočtů.
- Paralelní vlastnosti metody Taylorovy řady, základy programování specializovaných paralelních úloh s využitím diferenciálního počtu (těsná souvislost rovnicového a blokového zápisu).
- Adjungované diferenciální operátory a paralelní řešení diferenciálních rovnic s časově proměnnými koeficienty.
- Metodika řešení rozsáhlých soustav algebraických rovnic převodem na obyčejné diferenciální rovnice.
- Fourierova řada a určité integrály.
- Simulace elektrických obvodů.
- Řešení praktických problémů popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi.
- Koncepce elementárního procesoru specializovaného paralelního výpočetního systému.
Garant předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 39 hod. přednášky
- 26 hod. pc laboratoře
Bodové hodnocení
- 60 bodů závěrečná zkouška
- 20 bodů půlsemestrální test
- 20 bodů laboratoře
Zajišťuje ústav
Přednášející
Cvičící
Cíle předmětu
Získat přehled a základy praktického využití vybraných metod numerického řešení diferenciálních rovnic pro extrémně přesné a rychlé řešení náročných vědecko-technických výpočtů.
Schopnost analýzy vybraných metod numerického řešení diferenciálních rovnic pro extrémně přesné a rychlé řešení vědecko-technických úloh.
- Samostatné řešení netriviální soustavy diferenciálních rovnic.
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Numerická matematika
Literatura studijní
- Kozubek, T., Brzobohatý, T., Jarošová, M., Hapla, V., Markopoulos, A.: Lineární algebra s MATLABem, učební text MI21 VŠB-TU Ostrava, 2012 (elektronicky dostupné z http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/linearni_algebra_s_matlabem.pdf)
- Přednášky ve formátu PDF
- Hairer, E., Norsett, S. P., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations I, vol. Nonstiff Problems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1987.
- Meurant, G.: Computer Solution of Large Linear System, North Holland, 1999
- Burden, R. L.: Numerical analysis, Cengage Learning, 2015
- Golub, G. H.: Matrix computations, Hopkins Uni. Press, 2013
- Duff, I. S.: Direct Methods for Sparse Matrices (Numerical Mathematics and Scientific Computation), Oxford University Press, 2017
- Corliss, G. F.: Automatic differentiation of algorithms, Springer-Verlag New York Inc., 2002
- Vavřín, P.: Teorie automatického řízení I (Lineární spojité a diskrétní systémy). VUT, Brno, 1991.
- Vitásek,E.: Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic. Academia, Praha, 1994.
- Šebesta, V.: Systémy, procesy a signály I. VUTIUM, Brno, 2001.
Osnova přednášek
- Metodika sériového a paralelního výpočtu (zpětnovazební stabilita paralelních výpočtů)
- Extrémně přesné řešení diferenciálních rovnic metodou Taylorovy řady
- Paralelní vlastnosti metody Taylorovy řady
- Základy programování specializovaných paralelních úloh s využitím diferenciálního počtu (těsná souvislost rovnicového a blokového zápisu)
- Paralelní řešení obyčejných diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
- Adjungované diferenciální operátory a paralelní řešení diferenciálních rovnic s časově proměnnými koeficienty
- Metodika řešení rozsáhlých soustav algebraických rovnic převodem na obyčejné diferenciální rovnice
- Paralelní aplikace Bairstowovy metody při hledání kořenů algebraických rovnic vysokých stupňů
- Fourierova řada a určité integrály
- Simulace elektrických obvodů
- Řešení praktických problémů popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi
- Knihovní podprogramy přesných výpočtů
- Koncepce elementárního procesoru specializovaného paralelního výpočetního systému
Osnova počítačových cvičení
- Simulační systém TKSL (FOS), MATLAB, Simulink
- Testovací příklady řešení exponenciálních funkcí
- Diferenciální rovnice 1. řádu
- Diferenciální rovnice 2. řádu
- Generování funkcí času
- Generování funkcí obecné proměnné
- Výpočet určitých integrálů
- Soustava lineárních algebraických rovnic
- Modelování elektronických obvodů
- Laplaceova rovnice
- Rovnice vedení tepla
- Vlnová rovnice
- Regulační obvody
Průběžná kontrola studia
V průběhu semestru budou probíhat bodovaná počítačová cvičení. Libovolné cvičení bude možnost v závěrečných týdnech semestru nahradit.
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
- Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
- Program VTI-DR-4 (anglicky), obor DVI4, libovolný ročník, volitelný