Detail předmětu
Maticový a tenzorový počet
MPC-MAT FEKT MPC-MAT Ak. rok 2024/2025 letní semestr 5 kreditů
Matice jako algebraická struktura. Operace s maticemi. Determinant. Matice v soustavách lineárních algebraických rovnic. Vektorový prostor, báze a dimenze. Transformace souřadnic. Součet a průnik vektorových prostorů. Lineární zobrazení vektorových prostorů a jeho maticové vyjádření. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti (zejména samoadjungovaných) matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy souřadnic. Kovariantní, kontravariantní a smíšené tenzory. Operace s tenzory. Tenzorový antisymetrický vnější součin. Antilineární formy. Lorentzova transformace jako důsledek spektrálních vlastností matic. Maticová formulace kvantové mechaniky. Diracova notace. Bra a Ket vektory. Vlnové pakety jako vektory. Samoadjungovaný lineární operátor. Schrodingerova rovnice. Princip neurčitosti a Heisenbergova relace. Multi-qubitové systémy a kvantová provázanost (entaglement). Einstein-Podolsky-Rosen experiment-paradox. Kvantové výpočty. Matice hustoty. Kvantová teleportace.
Garant předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 26 hod. přednášky
- 18 hod. cvičení
- 8 hod. projekty
Zajišťuje ústav
Cíle předmětu
Zvládnout základy maticového a tenzorového počtu a jejich aplikace.
Student si připomene a zdokonalí se v
- řešení soustav lineárních rovnic
- výpočtu determinantů vyšších řádů různými metodami
- používání různých maticových operací
Student se dále naučí
- stanovit bázi a dimenzi vektorového prostoru
- vyjadřovat vektory v různých bázích a přepočítávat jejich souřadnice
- vypočítat průnik a součet vektorových prostorů
- spočítat ortogonální průmět vektoru do podporstoru
- najít matici ortogonální projekce
- stanovit ortogonální doplněk vektorového podprostoru
- vypočítat vlastní hodnoty a vektory čtvercové matice
- nalézt spektrální reprezentaci samoadjungované matice
- určit typ kuželosečky a kvadratické plochy
- stanovit definitnost kvadratické formy
- vyjadřovat tenzory v různých bázích
- počítat různé typy tenzorových součinů
- používat maticovou reprezentaci pro vybrané kvantové veličiny a výpočty
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Je požadováno zvládnutí učiva předmětu Matematika 1. Absolvování předmětu Matematický seminář je doporučeno.
Literatura studijní
- Demlová, M., Nagy, J., Algebra, STNL, Praha 1982.
- Havel, V., Holenda J.: Lineární algebra, SNTL, Praha 1984.
Literatura referenční
- Kovár, M., Maticový a tenzorový počet, Skriptum, Brno, 2013, 220s.
Osnova přednášek
Matice a maticové operace. Determinat. Soustavy lineárních rovnic. Vektorové prostory, báze, dimenze transformace souřadnic. Operace s vektorovými prostory - součet, průnik a lineární zobrazení. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy tenzorů a souřadnic. Operace s tenzory - tenzorový a vnější součin. Fyzikální aplikace - Lorentzova transformace, maticová kvantová mechanika.
Osnova numerických cvičení
Matice a maticové operace. Determinat. Soustavy lineárních rovnic. Vektorové prostory, báze, dimenze transformace souřadnic. Operace s vektorovými prostory - součet, průnik a lineární zobrazení. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy tenzorů a souřadnic. Operace s tenzory - tenzorový a vnější součin.
Osnova ostatní - projekty, práce
Dva projekty na vybraná témata z aplikované matematiky, každý po 5 bodech.
Průběžná kontrola studia
Semestrální zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Ze cvičení je možné získat maximálně 30 bodů, z nichž 20 bodů připadá na písemné testy a 10 bodů na řešení dvou projektů, každý po 5 bodech. Zápočet získá každý student, který dosáhne ve cvičení nejméně 10 bodů. V oddůvodněných případech může cvičící udělit zápočet i při nesplnění této podmínky.Zkouška může probíhat prezenčně nebo distančně. Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Zařazení předmětu ve studijních plánech