Matematické struktury v informatice

• 39 hod. přednášky
• 13 hod. cvičení

• 80 bodů závěrečná zkouška
• 20 bodů půlsemestrální test

Studenti prohloubí své znalosti z oblasti matematických struktur, které jsou nejčastěji využívány v informatice. Jedná se o matematickou logiku, algebru, funkcionální analýzu a teorii grafů. To jim pak umožní nejen lépe porozumět teoretickým základům informatiky, ale také se aktivně zapojit do výzkumu v tomto oboru.

Cílem předmětu je prohloubit u studentů znalosti základních matematických struktur, které jsou často využívány v různých oblastech informatiky. Vedle základů univerzální algebry a klasických algebraických struktur budou podrobněji vyloženy základy matematické logiky, teorie Banachových a Hilbertových prostorů a teorie neorientovaných i orientovaných grafů.

• Birkhoff, G., MacLane, S.: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava, 1981
• Polimeni, A.D., Straight, H.J.: Foundations of Discrete Mathematics, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, 1990, ISBN 053412402X
• Shoham, Y.: Reasoning about Change, MIT Press, Cambridge, 1988, ISBN 0262192691
• Nerode, A., Shore, R.A.: Logic for Applications, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0387941290
• Cameron, P.J.: Sets, Logic and Categories, Springer-Verlag, 2000, ISBN 1852330562
• Mendelson, E.: Introduction to Mathematical Logic, Chapman Hall, 1997, ISBN 0412808307

1. Výroková logika, výrokové formule a jejich pravdivost, formální systém výrokové logiky, dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti.
2. Jazyk predikátové logiky (predikáty, kvantifikátory, termy, formule) a jeho realizace, pravdivost a splňování formulí.
3. Formální systém predikátové logiky 1. řádu, věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti, prenexní tvar formulí. 
4. Univerzální algebry a jejich základní typy: grupoidy, pologrupy, monoidy, grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, svazy a Booleovy svazy.  
5. Základní algebraické metody: podalgebry, homomorfismy a izomorfismy, kongruence a přímé součiny algeber.
6. Relace kongruence na grupách a okruzích, normální podgrupy a ideály.
7. Okruhy polynomů, dělitelnost v oborech integrity, Gaussovy a Eukleidovy okruhy.
8. Teorie polí: minimální pole, rozšíření polí, konečná pole.
9. Metrické prostory, úplnost, normované a Banachovy prostory.
10. Unitární a Hilbertovy prostory, ortogonalita, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady.
11. Stromy a kostry, minimální kostra (Kruskalův a Primův algoritmus), vybarvování uzlů a hran grafu.
12. Orientované grafy, orientované eulerovské grafy, problém kritické cesty (Dijkstrův a Floyd-Warshallův algoritmus).
13. Sítě, toky a řezy v sítích, problémy maximálního toku a minimálního řezu, cirkulace v sítích.

Půlsemestrální písemný test.