Detail předmětu

Moderní matematické metody v informatice

MID Ak. rok 2021/2022 zimní semestr

Aktuální akademický rok

Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).
 
Okruhy otázek k SDZ:

  1. Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
  2. Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
  3. Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
  4. Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
  5. Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
  6. Polosvazy, svazy a úplné svazy.
  7. Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
  8. Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
  9. Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
  10. Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.


 
 

 

Garant předmětu

Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc. (ÚM OAAG)

Koordinátor předmětu

Pavlík Jan, Mgr., Ph.D. (ÚM OAAG)

Jazyk výuky

česky, anglicky

Zakončení

zkouška

Rozsah

  • 26 hod. přednášky

Bodové hodnocení

  • 100 bodů závěrečná zkouška

Zajišťuje ústav

ÚM-odbor algebry a diskrétní matematiky (ÚM OAAG)

Přednášející

Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc. (ÚM OAAG)

Cvičící

Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc. (ÚM OAAG)

Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu

Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci. 
Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.

Cíle předmětu

Cílem předmětu je seznámit studenty s moderními matematickými metodami využívanými v informatice. Jedná se především o metody založené na teorii uspořádaných množin a svazů, algebře a topologii.

Doporučené prerekvizity

Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti

Základní znalosti teorie množin, matematické logiky a obecné algebry.

Literatura studijní

  • G. Grätzer, Lattice Theory, Birkhäuser, 2003
  • K.Denecke and S.L.Wismath, Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall, 2002
  • G. Grätzer, Universal Algebra, Springer, 2008
  • P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
  • N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996
  • B.A. Davey, H.A. Pristley, Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, 1990
  • S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.
  • V.K.Garg, Introduction to Lattice Theory with Computer Science Applications, Wiley, 2015
  • T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001

Osnova přednášek

  1. Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
  2. Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
  3. Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
  4. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
  5. Svazy a svazové homomorfismy.
  6. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace 
  7. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice 
  8. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. 
  9. Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice. 
  10. Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy. 
  11. Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech. 
  12. Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie. 
  13. Digitální topologie, Khalimského topologie.  

Průběžná kontrola studia

Testy během semestru

Kontrolovaná výuka

Předmět je hodnocen na základě výsledku závěrečné zkoušky, ke složení zkoušky je třeba získat nejméně 50 z celkového počtu 100 bodů.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
  • Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
  • Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
  • Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
  • Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
  • Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
  • Program VTI-DR-4 (anglicky), obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
  • Program VTI-DR-4 (anglicky), obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
Nahoru