Detail předmětu
Numerické úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi
DTE2 Ak. rok 2017/2018 letní semestr
Obsah semináře sestává ze dvou navazujících celků. V první části jsou studovány základní metody numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR), a to metoda konečných diferencí (MKD) a metoda konečných prvků (MKP). Těmito metodami a jejich kombinací jsou řešeny Laplaceova, Poissonova, Helmholtzova, difuzní a vlnová PDR, a to pro zadané okrajové počáteční podmínky a známé rozložení parametrů prostředí v uzavřené oblasti (dopředná úloha). Tuto část uzavírá numerické řešení kombinovaných úloh, jako je propojení elektromagnetického pole s obvody se soustředěnými parametry nebo několika vzájemně vázaných polí (teplotní, elektromagnetické, pružnost a pevnost, proudění).
Ve druhé části se uvedené metody aplikují jako součást různých iteračních procesů ke stanovení parametrů prostředí PDR ze změřených nebo zadaných vstupních dat. Je studováno teoretické i praktické využití numerických metod s PDE k řešení úloh optimalizačních (stanovení rozměrů a materiálů zařízení) a inverzních (různé varianty tomografie (impedanční, ultrazvuková, NMR). Jednotlivá témata budou doplněna praktickými výpočty v prostředí programů ANSYS a MATLAB.
Garant předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 39 hod. přednášky
Bodové hodnocení
- 100 bodů závěrečná zkouška
Zajišťuje ústav
Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu
Předmět nemá znalosti.
Cíle předmětu
Získat teoretické vědomosti o MKP a MKD a jejich aplikaci spolu se schopností samostatně programovat dopředné i inverzní úlohy.
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Matematika, Fyzika, Elektromagnetismus na úrovni magisterského studia.
Literatura studijní
- Rektorys Karel: Přehled užité matematiky I, II. Prometheus, 1995 (CS)
- Inverse Problems. IoP Electronic Journals, http://www.iop.org/EJ/journal/IP http://www.inverse-problems.com/ (EN)
- IEEE Transactions on Magnetics, ročník 1996 a výše (EN)
- Fotokopie nejnovějších výzkumných zpráv ze serverů zahraničních špičkových pracovišť ke studované problematice budou dodávány průběžně (EN)
- SIAM Journal on Control and Optimization, ročník 1996 a výše (EN)
- metoda hladinových množin http://www.math.ucla.edu/applied/cam/index.html (EN)
- Dědek, L., Dědková J.: Elektromagnetismus. Skripta VUTIUM Brno, 2000 (CS)
- Inverse Problems. IoP Electronic Journals, http://www.iop.org/EJ/journal/IP (EN)
- Bossavit Alain.: Computational Electromagnetism - Variational formulations, complementarity, edge elements. Academic Press, 1998 (EN)
- Sadiku Mathew: Electromagnetics (second edition), CRC Press, 2001 (EN)
- Chari, M, V. K., Salon S. J.: Numerical Methods in Electromagnetism. Academic Press, 2000 (EN)
Osnova přednášek
- Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
- Metoda konečných diferencí (MKD).
- Metoda konečných prvků (MKP) - úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
- Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
- Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
- Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry.
- Sdružené úlohy.
- Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
- Nepodmíněné úlohy - metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody.
- Úlohy s vedlejšími podmínkami a metody podmíněné minimalizace ve spojení s MKP.
- Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody.
- Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
- Použití inverzních úloh v tomografii.
Průběžná kontrola studia
Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.
Kontrolovaná výuka
Výuka není kontrolována.